১০ম শ্রেণি : গণিত : অ্যাসাইনমেন্ট : ১ম সপ্তাহ : ২০২১

১০ম শ্রেণি : গণিত : অ্যাসাইনমেন্ট : ১ম সপ্তাহ : ২০২১

যে কোনো বাস্তব সংখ্যা $x$, $y$ এবং $z$ এর জন্য

$x+y+z=2$

$x^2+y^2+z^2=3$

এবং $xyz=4$

(ক) $xy+z-1$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর। (প্রদত্ত তথ্যের সাহায্য নিয়ে $z$ প্রতিস্থাপন করে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করবে।)

সমাধান :

দেওয়া আছে,

$x+y+z=2$

বা, $z=2-x-y$     .........(i)

প্রদত্ত রাশি,

$~~~~xy+z-1$

$=xy+2-x-y-1$ [ (i) নং হতে $z$-এর মান বসিয়ে ]

$\begin{array}{l}=xy+1-x-y\\=xy-x-y+1\\=x\left(y-1\right)-1\left(y-1\right)\\=\left(y-1\right)(x-1)\end{array}$

[Answer]

(খ) $\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2$ এর মান নির্ণয় কর। (বর্গ সংবলিত সূত্র ব্যবহার করে $\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2$ এর মান নির্ণয় করবে।)

সমাধান :

আমরা জানি,

$\begin{array}{l}\;\;\;\;\left(x^2+y^2+z^2\right)+2\left(xy+yz+xz\right)=\left(x+y+z\right)^2\\\Rightarrow2\left(xy+yz+xz\right)=\left(x+y+z\right)^2-\left(x^2+y^2+z^2\right)\\\Rightarrow2\left(xy+yz+xz\right)=\left(2\right)^2-\left(3\right)\\\Rightarrow2\left(xy+yz+xz\right)=4-3\\\Rightarrow2\left(xy+yz+xz\right)=1\end{array}$

প্রদত্ত রাশি,

$\begin{array}{l}\;\;\;\;\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\\=x^2-2xy+y^2+y^2-2yz+z^2+z^2-2zx+x^2\\=2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx\\=2\left(x^2+y^2+z^2\right)-2\left(xy+yz+zx\right)\end{array}$
$=2\times3-1$ [মান বসিয়ে ]

$\begin{array}{l}=6-1\\=5\end{array}$

[Answer]

(গ) $x^3+y^3+z^3$ এর মান নির্ণয় কর। (প্রথমে $\left(x+y+z\right)$ ও $\left(xy+yz+zx\right)$ এর গুণ করে এবং প্রদত্ত তথ্যের ব্যবহার করে $x^2y+x^2z+xy^2+zy^2+z^2y+z^2x$ এর মান নির্ণয় করবে। এরপর $\left(x+y+z\right)$ ও $x^2+y^2+z^2$ গুণ করে এবং প্রাপ্ত তথ্য ব্যবহার করে $x^3+y^3+z^3$ এর মান নির্ণয় করবে।)

সমাধান :

দেওয়া আছে,

$\begin{array}{l}x+y+z=2\\x^2+y^2+z^2=3\\xyz=4\end{array}$

সুতরাং,

$\begin{array}{l}\;\;\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)\\=x^2y+xyz+x^2z+xy^2+y^2z+xyz+xyz+yz^2+z^2x\\=x^2y+x^2z+xy^2+y^2z+yz^2+z^2x+3xyz\\=x^2y+x^2z+xy^2+y^2z+yz^2+z^2x+3\times4\\\;\;\;\;\;\;\lbrack⸪xyz=4\rbrack\\=x^2y+x^2z+xy^2+y^2z+yz^2+z^2x+12~~~~.......(ii)\end{array}$

আবার, আমরা জানি,

$\begin{array}{l}\;\;\;\;\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx\\\Rightarrow2\left(xy+yz+zx\right)=\left(x+y+z\right)^2-\left(x^2+y^2+z^2\right)\\\Rightarrow2\left(xy+yz+zx\right)=2^2-3\\\Rightarrow xy+yz+zx=\frac12\end{array}$

অতএব,

$\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)=2\times\frac12=1~......(iii)$

(ii) নং সমীকরণ ও (iii) নং সমীকরণ অনুসারে।

$\begin{array}{l}\;\;\;\;\;x^2y+x^2z+xy^2+y^2z+yz^2+z^2x+12=1\\\Rightarrow x^2y+x^2z+xy^2+y^2z+yz^2+z^2x=1-12\\\Rightarrow x^2y+x^2z+xy^2+y^2z+yz^2+z^2x=-11.....(iv)\end{array}$

এখন,

$\begin{array}{l}\;\;\;\;\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)=2\times3\\\Rightarrow x^3+xy^2+xz^2+x^2y+y^3+yz^2+x^2z+zy^2+z^3=6\\\Rightarrow x^3+y^3+z^3+x^2y+x^2z+xy^2+xz^2+yz^2+zy^2=6\\\Rightarrow x^3+y^3+z^3+\left(-11\right)=6\;\lbrack\;(iv)\;\rbrack\\\Rightarrow x^3+y^3+z^3=6+11\\\therefore x^3+y^3+z^3=17\end{array}$

[Answer]

(ঘ) প্রমাণ কর যে, $\frac1{xy+z-1}+\frac1{yz+x-1}+\frac1{zx+y-1}=-\frac29$ (হরগুলোর উৎপাদকে বিশ্লেষণের জন্য ‘ক’ এর সাহায্য নেয়া যেতে পারে।)

সমাধান :

দেওয়া আছে,

$\begin{array}{l}x+y+z=2\;\;or,\;x=2-y-z\\x^2+y^2+z^2=3\\xyz=4\end{array}$

আবার,

$\begin{array}{l}y=2-x-z\\z=2-x-y\end{array}$

(গ) হতে পাই,

$xy+yz+zx=\frac12$

এবং (ক) হতে পাই,

$xy+z-1=\left(y-1\right)\left(x-1\right)$

এখন,

২য় ভগ্নাংশের হর,

$yz+x-1$

$=yz+2-y-z-1$ [ $x$-এর মান বসিয়ে]

$\begin{array}{l}=zx-y-z+1\\=y\left(z-1\right)-1\left(z-1\right)\\=\left(y-1\right)\left(z-1\right)\end{array}$

৩য় ভগ্নাংশের হর,

$zx+y-1$

$=zx+2-x-z-1$ [ $y$-এর মান বসিয়ে]

$\begin{array}{l}=zx-x-z+1\\=x\left(z-1\right)-1\left(z-1\right)\\=\left(x-1\right)\left(z-1\right)\end{array}$

বামপক্ষ,

$\begin{array}{l}\;\;\;\;\frac1{xy+z-1}+\frac1{yz+x-1}+\frac1{zx+y-1}\\=\frac1{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}+\frac1{\left(y-1\right)\left(z-1\right)}+\frac1{\left(x-1\right)\left(z-1\right)}\\=\frac{z-1+x-1+y-1}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)\left(z-1\right)}\\=\frac{x+y+z-3}{\left(xy-x-y+\right)\left(z-1\right)}\\=\frac{x+y+z-3}{xyz-xz-yz+z-xy+x+y-1}\\=\frac{2-3}{4+2-{\displaystyle\frac12}-1}\\=\frac{-1}{\displaystyle\frac{8+4-1-2}2}\\=-1\times\frac29\\=-\frac29\end{array}$

= ডানপক্ষ

[ প্রমাণিত ]

---

আরো দেখুন :

২য় সপ্তাহের নমুনা সমাধান :

১০ম শ্রেণি : ইংরেজী

১০ম শ্রেণি : বাংলাদেশ ও বিশ্বপরিচয়

১০ম শ্রেণি : বিজ্ঞান

১ম সপ্তাহের নমুনা সমাধান :

১০ম শ্রেণি : বাংলা : অ্যাসাইনমেন্ট : ১ম সপ্তাহ

১০ম শ্রেণি : গণিত : অ্যাসাইনমেন্ট : ১ম সপ্তাহ