(ক) ১০ম চিত্রটি গঠন কর ও কয়েন সংখ্যা নির্ণয় কর। (তথ্যের আলোকে চিত্র গঠন করবে ও কয়েন সংখ্যা বসাবে)
(খ) প্রদত্ত তথ্যের আলোকে $n$ তম চিত্রের কয়েন সংখ্যা নির্ণয় কর। (সারির কয়েন সংখ্যা পর্যবেক্ষণ করে সাধারণ সূত্র গঠন করবে।)
২।
(ক) $n=5$ হলে ২য় কলামের সংখ্যাগুলো নির্ণয় কর এবং ছক থেকে দেখাও যে, $n=1,2,3,4$ এর আলোকে $n$ তম সারির সংখ্যাগুলোর সমষ্টি $2^n$কে সমর্থন করে। (তথ্যের আলোকে ২য় কলামের সংখ্যাগুলো গঠন ও সংখ্যাগুলোর সমষ্টি পর্যবেক্ষণ করবে।)
(খ) প্রত্যেক সারির সমষ্টিগুলোকে নিয়ে একটি ধারা তৈরি কর এবং কতগুলো সারির সমষ্টিগুলোর সমষ্টি $2046$ হবে? (সমষ্টির সূত্র ব্যবহার করবে।)
৩।
$\textstyle\sum_{k=1}^nk^3=784$, যেখানে $n\in\mathbb{N}$ হলে, $\textstyle\sum_{k=1}^nk^2$ এর মান নির্ণয় কর।
- $n\in\mathbb{N}$ এর জন্য স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টির ধারা গঠন করবে।
- স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টির সূত্রে $n$ এর মান বসাবে।
নমুনা সমাধান
১নং প্রশ্নের উত্তার
(ক)
১নং চিত্রে কয়েন সংখ্যা $=1$
২নং চিত্রে কয়েন সংখ্যা $=3$
৩নং চিত্রে কয়েন সংখ্যা $=6$
৪নং চিত্রে কয়েন সংখ্যা $=10$
এখানে,
১ ও ২নং চিত্রের কয়েন সংখ্যার পার্থক্য $(3-1)=2$
২ ও ৩নং চিত্রের কয়েন সংখ্যার পার্থক্য $(6-3)=3$
৩ ও ৪নং চিত্রের কয়েন সংখ্যার পার্থক্য $(10-6)=4$
অর্থাৎ, পরপর দুটি চিত্রের কয়েন সংখ্যার পার্থক্য স্বাভাবিক সংখ্যার ক্রমানুসারে
বাড়ছে।
এখানে,
৫নং চিত্রে কয়েন সংখ্যা হবে $10+5=15$
৬নং চিত্রে কয়েন সংখ্যা হবে $15+6=21$
৭নং চিত্রে কয়েন সংখ্যা হবে $21+7=28$
৮নং চিত্রে কয়েন সংখ্যা হবে $28+8=36$
৯নং চিত্রে কয়েন সংখ্যা হবে $36+9=45$
১০নং চিত্রে কয়েন সংখ্যা হবে $45+10=55$
০
০০
০০০
০০০০
০০০০০
০০০০০০
০০০০০০০
০০০০০০০০
০০০০০০০০০
০০০০০০০০০০
∴ ১০ম চিত্রে কয়েন সংখ্যা $55$
(খ)
প্রদত্ত তত্যের আলোকে $n$ তম চিত্রের কয়েন সংখ্যা নির্ণয় করা হলো-
১নং চিত্রে কয়েন সংখ্যা $=1=\frac{1\left(1+1\right)}2$
২নং চিত্রে কয়েন সংখ্যা $=2=\frac{2\left(2+1\right)}2$
৩নং চিত্রে কয়েন সংখ্যা $=3=\frac{3\left(3+1\right)}2$
৪নং চিত্রে কয়েন সংখ্যা $=4=\frac{4\left(4+1\right)}2$
এখানে,
যেকোনো চিত্রের কয়েন সংখ্যা =
পদসংখ্যা x (পদসংখ্যা + 1)
⁄
2
∴ $n$ তম চিত্রে কয়েন সংখ্যা হবে $=\frac{n\left(n+1\right)}2$
∴ নির্ণেয় সূত্র $\frac{n\left(n+1\right)}2$
২নং প্রশ্নের উত্তর
| $n$ | সারির সংখ্যাগুলো | সারির সংখ্যাগুলোর সমষ্টি |
|---|---|---|
| 1 |
|
1+1=2 |
| 2 |
|
1+2+1=4 |
| 3 |
|
1+3+3+1=8 |
| 4 |
|
1+4+6+4+1=16 |
| 5 |
|
1+5+10+10+5+1=32 |
এখানে,
১ম সারির সংখ্যাগুলোর সমষ্টি $=2=2^1$
২য় সারির সংখ্যাগুলোর সমষ্টি $=4=2^2$
৩য় সারির সংখ্যাগুলোর সমষ্টি $=8=2^3$
৪র্থ সারির সংখ্যাগুলোর সমষ্টি $=16=2^4$
- - - -
- - - -
∴ $n$ তম সারির সংখ্যাগুলোর সমষ্টি $=2^n$
∴ $n$ তম সারির সংখ্যাগুলোর সমষ্টি $2^n$ কে সমর্থন করে।
[ দেখানো হলো ]
(খ)
প্রত্যেক সারির সমষ্টিগুলোকে নিয়ে গঠিত ধারা
$2+4+8+16+32+.......$
$2+4+8+16+32+.......$
এখানে,
ধারাটির ১ম পদ $a=2$
সাধারণ অনুপাত, $r=\frac42=\frac84=\frac{16}8=2$
মনে করি,
ধারাটির $n$ পদের সমষ্টি হবে $2046$
প্রশ্নমতে,
$\frac{a\left(r^n-1\right)}{r-1}=2046$
$=\frac{2\left(2^n-1\right)}{2-1}=2046$
$=2\left(2^n-1\right)=2046$
$=\left(2^n-1\right)=1023$
$=2^n=1023+1$
$=2^n=1024$
$=2^n=2^{10}$
∴ $10$টি সারির সমষ্টিগুলোর সমষ্টি $2046$ হবে।
[Answer]
৩ নং প্রশ্নের উত্তর
দেওয়া আছে, $n\in\mathbb{N}$
অর্থাৎ, $k=1,2,3,........n$
এবং, দেওয়া আছে,
$\textstyle\sum_{k=1}^nk^3=784$
বা, $1^3+2^3+3^3+4^3+................+n^3=784$
বা, $\left\{\frac{n\left(n+1\right)}2\right\}^2=\left(28\right)^2$
বা, $\frac{n\left(n+1\right)}2=28$
বা, $n\left(n+1\right)=56$
বা, $n^2+n=56$
বা, $n^2+n-56=0$
বা, $n^2+8n-7n-56=0$
বা, $n\left(n+8\right)-7\left(n+8\right)=0$
বা, $\left(n+8\right)\left(n-7\right)=0$
হয়,
$n+8=0$
$n=-8$
অথবা,
$n-8=0$
$n=8$
কিন্তু, $n\in\mathbb{N}$
সুতরাং $n=7$
আবার,
$\textstyle\sum_{k=1}^nk^2$
$=1^2+2^2+3^2+4^2+................+n^2$
$=\frac{n\left(n+\right)\left(2n+1\right)}6$
$=\frac{7\left(7+1\right)\left(2\times7+1\right)}6$
$=\frac{7\left(7+1\right)\left(14+1\right)}6$
$=\frac{7\times8\times15}6$
$=\frac{840}6$
$=140$
সুতরাং, নির্ণেয় মান $140$
[ Answer ]