SSC 2021 : উচ্চতর গণিত : ১ম সপ্তাহ : অ্যাসাইনমেন্ট

অধ্যায় ১১

স্থানাাঙ্ক জ্যামিতি

অ্যাসাইনমেন্ট :

চিত্রে একটি পঞ্চভুজের শীর্ষবিন্দুগুলো A(-12,10), B(-4,-2), C(6,-8), D(t,3), E(6,8) এবং শীর্ষবিন্দুগুলো ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে আবর্তিত।

নমুনা সমাধান

(ক)

দেওয়া আছে,

$B=\left(-4,-2\right)$

$E=\left(6,8\right)$

∴ $BE$ রেখার ঢাল,

     $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

বা, $\tan\theta=\frac{8+2}{6+4}$

বা, $\tan\theta=\frac{10}{10}$

বা, $\tan\theta=1$

বা, $\theta=\tan^{-1}\left(1\right)$

$\therefore\theta=45^\circ$

∴ নির্ণেয় $B$ ও $E$ বিন্দুর সংযোগ রেখা $x$ অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে $45^\circ$ কোণ উৎপন্ন করে।

(খ)

দেওয়া আছে,

$ABCDE$ পঞ্চভুজের ক্ষেত্রফল $236$ বর্গ একক।

এবং, $A(-12,10)$, $B(-4,-2)$, $C(6,-8)$, $D(t,3)$, $E(6,8)$

∴ $ABCDE$ পঞ্চভুজের ক্ষেত্রফল = $\frac12\begin{vmatrix}-12&10\\-4&-2\\6&-8\\t&3\\6&8\\-12&10\end{vmatrix}$

বা, $236=\frac12\left\{\left(24+32+18+8t+60\right)-\left(-40-12-8t+18-96\right)\right\}$

বা, $236=\frac12\left\{\left(134+8t\right)-\left(-130-8t\right)\right\}$

বা, $236=\frac12\left(134+8t+130+8t\right)$

বা, $236=\frac12\left(264+16t\right)$

বা, $236=\frac12\times2\left(132+8t\right)$

বা, $236=132+8t$

বা, $8t=236-132$

বা, $8t=104$

বা, $t=\frac{104}8$

$\therefore t=13$

∴ নির্ণেয় $D$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(13,3)$

(গ)

দেওয়া আছে,

$F$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(-2,4)$,

$A$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(-12,10)$,

$B$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(-4,-2)$,

$C$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(6,-8)$,

$AB=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2}$

        $=\sqrt{\left(-4+12\right)^2+\left(-2-10\right)^2}$

        $=\sqrt{\left(8\right)^2+\left(-12\right)^2}$

        $=\sqrt{64+144}$

        $=\sqrt{208}$

$BC=\sqrt{\left(6+4\right)^2+\left(-8+2\right)^2}$

        $=\sqrt{\left(10\right)^2+\left(-6\right)^2}$

        $=\sqrt{100+36}$

        $=\sqrt{136}$

$BC=\sqrt{\left(-2-6\right)^2+\left(4+8\right)^2}$

        $=\sqrt{\left(-8\right)^2+\left(12\right)^2}$

        $=\sqrt{64+144}$

        $=\sqrt{208}$

$BC=\sqrt{\left(-2+12\right)^2+\left(4-10\right)^2}$

        $=\sqrt{\left(10\right)^2+\left(-6\right)^2}$

        $=\sqrt{100+36}$

        $=\sqrt{136}$

$AC$ কের্ণের দৈর্ঘ্য

$=\sqrt{\left(6+12\right)^2+\left(-8-10\right)^2}$

$=\sqrt{\left(18\right)^2+\left(18\right)^2}$

$=\sqrt{324+324}$

$=\sqrt{648}$

$=25.46$

$BF$ কের্ণের দৈর্ঘ্য

$=\sqrt{\left(-2+4\right)^2+\left(4+2\right)^2}$

$=\sqrt{\left(2\right)^2+\left(6\right)^2}$

$=\sqrt{4+36}$

$=\sqrt{40}$

$=6.32$

এখানে,

$BF=CF$ ও $BC=AF$

কিন্তু কর্ণ $AC\neq$ কর্ণ $BE$

সুতরাং $ABCF$ চতুর্ভুজটি সামান্তরিক।

(ঘ)

দেওয়া আছে,

$A=(-12,10)$ এবং

$B=(-4,-2)$

আমরা জানি,

$AB$ রেখার সমীকরণ :

    $\frac{y-y_1}{y_1-y_2}=\frac{x-x_1}{x_1-x_2}$

$\Rightarrow\frac{y-10}{10+2}=\frac{x+12}{-12+4}$

$\Rightarrow\frac{y-10}{12}=\frac{x+12}{-8}$

$\Rightarrow-8y+80=12x+144$

$\Rightarrow-8y=12x+144-80$

$\Rightarrow-8y=12x+64$

$\Rightarrow-2y=3x+16$ [$4$ দ্বারা ভাগ করে]

যেহেতু, $AB$ রেখার সমীকরণটি $P$ বিন্দুগামী।

∴ $P(h,k)$ বিন্দুগামী রেখার সমীকরণ :

$-2k=3h+16$ ............ (i)

আবার দেওয়া আছে,

$A=(-12,10)$ এবং

$E=(6,8)$

আমরা জানি,

$AE$ রেখার সমীকরণ :

    $\frac{y-y_1}{y_1-y_2}=\frac{x-x_1}{x_1-x_2}$

$\Rightarrow\frac{y-10}{10-8}=\frac{x+12}{-12-6}$

$\Rightarrow\frac{y-10}{2}=\frac{x+12}{-18}$

$\Rightarrow-18y+180=2x+24$

$\Rightarrow-18y=2x+24-180$

$\Rightarrow-18y=2x-156$

$\Rightarrow-9y=x-78$ [$2$ দ্বারা ভাগ করে]

যেহেতু, $AE$ রেখার সমীকরণটি $Q$ বিন্দুগামী।

∴ $Q(k,h)$ বিন্দুগামী রেখার সমীকরণ :

$-9h=k-78$

$k=-9h+78$ ............ (ii)

(ii) নং সমীকরণকে $2$ দ্বারা গুণ করে পাই,

$2k=-18h+156$ ............ (iii)

এখন (i) ও (iii) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,

    $-2k+2k=\left(3h+16\right)+\left(-18h+156\right)$

$\Rightarrow0=3h+16-18h+156$

$\Rightarrow0=-15h+172$

$\Rightarrow15h=172$

$\therefore h=\frac{172}{15}$

আবার, (i) নং সমীকরণকে $3$ দ্বারা গুণ করে পাই,

$-6k=-9h+48$ ............ (iv)

এখন (ii) ও (iv) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,

    $k-6k=-9h+78+9h+48$

$\Rightarrow-5k=126$

$\therefore k=-\frac{126}{5}$

এখন, $P=(h,k)= \left(\frac{172}{15},-\frac{126}{5}\right)$

এবং$Q=(k,h)= \left(-\frac{126}{5},\frac{172}{15}\right)$

∴ $PQ$ রেখার সমীকরণ,

    $\frac{y-y_1}{y_1-y_2}=\frac{x-x_1}{x_1-x_2}$

$\Rightarrow\frac{y-\left(-{\displaystyle\frac{126}5}\right)}{-{\displaystyle\frac{126}5}-{\displaystyle\frac{172}{15}}}=\frac{x-{\displaystyle\frac{172}{15}}}{{\displaystyle\frac{172}{15}}-\left(-{\displaystyle\frac{126}5}\right)}$

$\Rightarrow\frac{y+{\displaystyle\frac{126}5}}{-\left({\displaystyle\frac{126}5}+{\displaystyle\frac{172}{15}}\right)}=\frac{x-{\displaystyle\frac{172}{15}}}{{\displaystyle\frac{172}{15}}+{\displaystyle\frac{126}5}}$

$\Rightarrow-\left(y+\frac{126}5\right)=x-\frac{172}{15}$

$\Rightarrow-\left(\frac{5y+126}5\right)=\frac{15x-172}{15}$

$\Rightarrow-5y-126=\frac{15-172}3$ [$5$ দ্বারা গুণ করে]

$\Rightarrow-15y-378=15x-172$

$\Rightarrow15y+378=-15x+172$ [$-1$ দ্বারা গুণ করে]

$\Rightarrow15y=-15x+172-378$

$\therefore15y=-15x-206$

---

আরো দেখুন :

১ম সপ্তাহের নমুনা সমাধান :

SSC 2021 : উচ্চতর গণিত

SSC 2021 : পৌরনীতি ও নাগরিকতা

SSC 2021 : ফিন্যান্স ও ব্যাংকিং

SSC 2021 : জীববিজ্ঞান

SSC 2021 : অর্থনীতি

SSC 2021 : হিসাব বিজ্ঞান

SSC 2021 : রসায়ন

SSC 2021 : ভূগোল ও পরিবেশ

SSC 2021 : ব্যবসায় উদ্যোগ

SSC 2021 : পদার্থ বিজ্ঞান

SSC 2021 : বাংলাদেশের ইতিহাস ও বিশ্বসভ্যতা