গণিত : সম্ভাব্যতা (Probability) : প্রাথমিক আলোচনা

সম্ভাব্যতা

(Probability)

বাস্তব জীবনে আমরা সবাই কমবেশি সম্ভাবনা শব্দটির সাথে পরিচিত। আকাশ মেঘের ঘনঘটা দেখে আমরা যেমন বলি বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা খুব বেশি। আবার, কোনো ছেলে যদি তার পড়াশোনাতে অমনোযোগী হয় তখন আমরা বলি তার পরীক্ষায় ভালো রেজাল্ট করার সম্ভাবনা খুব কম। বিসিএস প্রিলির জন্যে খুবই গুরুত্বপূর্ণ একটি অধ্যায় হলো সম্ভাব্যতা (Probability)। হিউজ তথ্যের এই অধ্যায়ের শতভাগ প্রস্তুতির জন্যে সবচেয়ে কম এবং অধিকতর গুরুত্বপূর্ণ সম্ভাব্যতার টপিক নিয়ে আলোচনা থাকবে এই কনটেন্টে। 

তাহলে সহজ ভাষায় সম্ভাব্যতা হলো, কোনো একটি ঘটনা ঘটবে নাকি ঘটবেনা তার গাণিতিক পরিমাপ। 

বিসিএস প্রিলিতে সম্ভাব্যতা থেকে যেসব অংক এসে থাকে সেসব মূলত ২/৩ টি সূত্রের সাহায্য নিয়েই সমাধান করা যায়। তাই আমরা সম্ভাব্যতার বিস্তারিত আলোচনার পাশাপাশি সর্বশেষে সেই ২/৩ টি সূত্র আলোচনা করব এবং সেসব ব্যবহার করে কয়েকটা অংকের সমাধান করব।

সম্ভাব্যতার অংক করতে আমাদের কয়েকটি নতুন টার্মের সাথে পরিচিত হতে হবে। এগুলো যদি ভালোভাবে বুঝতে না পারি তবে অনেকক্ষেত্রে অংক করতে সমস্যা হবে৷ তাহলে চলুন গুরুত্বপূর্ণ কিছু টার্মের সাথে পরিচিত হয়ে আসি।

১. ঘটনজগৎ বা নমুনাক্ষেত্র এবং ঘটনা (Sample Space and Event) :

ঘটনা : সমসম্ভব পরীক্ষার সাথে সম্পর্কিত যেকোন একটি প্রাপ্তফলকে একটি ঘটনা বলে অর্থাৎ প্রতিটি trail এ প্রাপ্ত ফল এক একটি ঘটনা। 

নমুনাবিন্দু : পরীক্ষণের প্রত্যেকটি অনুমিত ফলকে নমুনাবিন্দু বলে।

নমুনাক্ষেত্র : নমুনাবিন্দুর সমাহারকে নমুনাক্ষেত্র বা ঘটনজগৎ বলে। সম্ভাব্য সমস্ত ঘটনার সমাহারই ঘটনজগৎ। এ কারণে ঘটনজগৎকে সার্বিক সেট বিবেচনা করা যেতে পারে। একে অনেকে S বা U  দিয়ে সূচিত করে থাকে। 

উদাহরণ : একটি সুষম মুদ্রা উৎক্ষেপণ করা হলে হেড অথবা টেইল পাওয়া যাবে। সুতরাং সমসম্ভাব্য মোট ফলাফলের সংখ্যা = সমসম্ভাব্য মোট ঘটনার সংখ্যা = নমুনাক্ষেত্রে মোট নমুনা বিন্দুর সংখ্যা = n (S) = 2 এবং ঘটনজগৎ S = { হেড, টেইল } বা S = { H, T }। 

অনুরূপ একটি ছক্কা নিক্ষেপ করলে ঘটনজগৎ S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} এবং সমসম্ভাব্য মোট ঘটনার সংখ্যা n (S) = 6। এই ছক্কায় বিজোড় পাওয়ার সম্ভাবনা A = {1, 3, 5} এবং জোড় পাবার সম্ভাবনা B = {2, 4, 6}

২. দৈব পরীক্ষা (Random Experiment) :

যখন কোনো পরীক্ষার সম্ভাব্য সকল ফলাফল আগে থেকে জানা থাকে কিন্তু পরীক্ষাটিতে কোনো একটি নির্দিষ্ট চেষ্টায় কী ফলাফল আসবে তা নিশ্চিত করে বলা যায় না, তখন তাকে দৈব পরীক্ষা বা Random Experiment বলে। 

যেমন : একটি মুদ্রা নিক্ষেপণ করা হলে ফলাফল (H, T) হবে তা আমরা পূর্ব থেকেই জানি কিন্তু মুদ্রাটি নিক্ষেপের পূর্বে কোন ফলাফলটি ঘটবে তা আমরা নিশ্চিত হয়ে বলতে পারি না। সুতরাং মুদ্রা নিক্ষেপণ পরীক্ষা একটি দৈব পরীক্ষা। 

৩. অনুকূল ফলাফল (Favourable Outcomes) :

কোনো পরীক্ষায় একটা ঘটনার স্বপক্ষের ফলাফলকে উক্ত ঘটনার অনুকূল ফলাফল বা Favourable Outcomes বলে।

যেমন : একটি ছক্কা নিক্ষেপ করা হলে জোড় সংখ্যা হওয়ার অনুকূল ফলাফল ৩ টি৷ 

৪. বিভিন্ন প্রকার ঘটনা :

৪.১। সমসম্ভাব্য ঘটনাবলী (Equally Likely Events) : কোনো পরীক্ষার ঘটনাগুলো ঘটার সম্ভাবনা সমান হয় অর্থাৎ যদি একটি অপরটির চেয়ে বেশি বা কম সম্ভাব্য না হয়, তবে ঘটনাগুলোকে সমসম্ভাব্য বা Equally Likely Events বলে। যেমন : ১ টি মুদ্রা নিক্ষেপণ করা হলে হেড এবং টেল আসার সম্ভাবনা সমান সমান। সুতরাং হেড আসা ও টেল আসা ঘটনা দুইটি সমসম্ভাব্য ঘটনা৷ 

৪.২। সরল ঘটনা (Simple Event) : কোন ঘটনা যদি নমুনাক্ষেত্রের একটি মাত্র উপাদান দ্বারা গঠিত তবে তাকে সরল ঘটনা বলে অর্থাৎ নমুনাক্ষেত্রের প্রত্যেকটি উপাদান দ্বারা গঠিত ঘটনা এক একটি সরল ঘটনা। দুটি মুদ্রা একত্রে নিক্ষেপ করলে নমুনাক্ষেত্র S = { HH, HT, TH, TT }. এখানে S এর একটি উপাদান দ্বারা গঠিত A = { HT } একটি সরল ঘটনা।

৪.৩। যৌগিক ঘটনা (Compound Event) : নমুনাক্ষেত্র বা ঘটনাজগতের একের অধিক উপাদান দ্বারা গঠিত ঘটনাকে যৌগিক ঘটনা বলে। যেমন : S = { HH, HT, TH, TT }। নমুনাক্ষেত্রে একটি হেড পাওয়ার ঘটনা B = { HT, TH } একটি যৌগিক ঘটনা।

৪.৪। সম্পূর্ণ ঘটনা (Total Event) : কোনো পরীক্ষার সাথে সংশ্লিষ্ট দুই বা ততোধিক ঘটনাকে সম্পূর্ণ ঘটনা বলা হয় যদি প্রতি পরীক্ষায় ঘটনাগুলির কমপক্ষে একটি ঘটনা অবশ্যই ঘটে। সম্পূর্ণ ঘটনাগুলির সংযোগে নমুনাক্ষেত্র উৎপন্ন হয়। একটি মুদ্রা নিক্ষেপ করলে নমুনাক্ষেত্র S = { H, T } ; এখানে { H } ও { T } সম্পূর্ণ ঘটনা। 

৪.৫। স্বাধীন বা অনির্ভরশীল ঘটনা (Independent Event) : কোনো পরীক্ষার সাথে সংশ্লিষ্ট দুই বা ততোধিক ঘটনাকে স্বাধীন বা অনির্ভরশীল ঘটনা বলা হয় যদি এদের যেকোনো একটি ঘটার সম্ভাবনা অন্যগুলি ঘটার বা না ঘটার উপর নির্ভর না করে। যেমন : পুনঃস্থাপনের পর একটি প্যাকেট থেকে ২টি তাস টানা হলে ১মবারে তাসটি লাল ও ২য়বারে তাসটি কালো হবার ঘটনা দুইটি পরস্পর স্বাধীন। 

৪.৫। অধীন বা নির্ভরশীল ঘটনা (Dependent Event) :  কোনো পরীক্ষার সাথে সংশ্লিষ্ট দুইটি ঘটনা যদি এমন হয় যে, এদের কোনো একটি ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা পূর্বের অন্য একটি ঘটনা ঘটার উপর নির্ভর করে তাহলে পরের ঘটনাটিকে অধীন বা নির্ভরশীল ঘটনা বলে। যেমন : পুনঃস্থাপন না করে একটি প্যাকেট থেকে ২টি তাস টানা হলে ২য়বারে টানা তাসটি লাল হবার ঘটনা ১মবারে টানা তাসটি লাল বা কালো হবার উপর নির্ভরশীল বলে ২য় ঘটনাটি ১ম ঘটনার অধীন বা তার উপর নির্ভরশীল ঘটনা। 

৪.৬। বর্জনশীল বা পৃথক বা বিচ্ছিন্ন ঘটনা (Mutually Exclusive Event) : কোনো পরীক্ষার সাথে সংশ্লিষ্ট দুই বা ততোধিক ঘটনার যেকোন একটি ঘটলে যদি অপর কোনটি ঘটতে না পারে, তাহলে তাদের পরস্পর বর্জনশীল বা পৃথক বা বিচ্ছিন্ন ঘটনা বলে। 

সহজ করে বললে, দুই বা ততোধিক ঘটনার যদি কোনো সাধারণ নমুনাবিন্দু না থাকে তবে তাদেরকে পরস্পর বর্জনশীল ঘটনা। যেমন : একটি মুদ্রা ১ বার নিক্ষেপ করলে হেড বা টেইল যেকোন একটি পাওয়া যাবে। একইসাথে টেল ও হেড পাওয়া সম্ভব না৷ 

নোট : দুটি ঘটনা A ও B পরস্পর বর্জনশীল যদি ও কেবল যদি

$P\left(A\cap B\right)=0$

অর্থাৎ, $P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)$

৪.৭। অবর্জনশীল বা অবিচ্ছিন্ন ঘটনা (Not Mutually Exclusive Event) : কোনো পরীক্ষার সাথে সংশ্লিষ্ট দুই বা ততোধিক ঘটনার যেকোন একটি ঘটলে যদি অপর ঘটনা বা ঘটনাগুলি ঘটতে পারে, তাহলে তাদের পরস্পর অবর্জনশীল বা অবিচ্ছিন্ন ঘটনা বলে। 

সহজ করে বললে, দুই বা ততোধিক ঘটনার যদি কমপক্ষে একটি সাধারণ নমুনাবিন্দু থাকে তবে তাদেরকে পরস্পর অবর্জনশীল ঘটনা বলে। 

যেমন : A = {2, 4, 6} এবং B = {6, 8, 10} ঘটনা দুটি পরস্পর অবর্জনশীল ঘটনা কারণ, তাদের একটি সাধারণ নমুনাবিন্দু '6' বিদ্যমান।

নোট : দুইটি ঘটনা A ও B  পরস্পর পরস্পর অবর্জনশীল ঘটনা যদি ও কেবল যদি 

$P\left(A\cap B\right)=\varnothing$

অর্থাৎ, $P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)$

মনে রাখুন : দুইটি ঘটনা একই সাথে স্বাধীন ও বর্জনশীল হতে পারে না। 

৪.৮। পূরক বা পরিপূরক ঘটনা (Complementary Event) : কোনো ঘটনা A এর উপাদানগুলিকে বাদ দিয়ে নমুনাক্ষেত্র S এর অন্যান্য উপাদান নিয়ে গঠিত ঘটনাকে A ঘটনার পূরক ঘটনা বলা হয় এবং তাকে S - A বা A' দ্বারা প্রকাশ করা হয়। কোনো নমুনাক্ষেত্র S এর দুইটি ঘটনা A এবং A' পরস্পর পূরক হবে যদি ও কেবল যদি

$A\cap A'=\varnothing$, $A\cup A'=S$ এবং $P\left(A'\right)=1-P\left(A\right)$

৪.৯। নিশ্চিত ঘটনা (Sure Event) : দৈব পরীক্ষার সাথো সংশ্লিষ্ট কোনো ঘটনা যদি অবশ্যই ঘটে তবে তাকে নিশ্চিত ঘটনা বলা হয়। নিশ্চিত ঘটনার সম্ভাব্যতা ১ হয়। যেমন : একটি মুদ্রা নিক্ষেপণ করা হলে উপরের পৃষ্ঠে হেড বা টেইল যেকোনোটি পাওয়ার ঘটনা নিশ্চিত ঘটনা। দৌড় প্রতিযোগিতায় ১টি ছেলে বা মেয়ের প্রথম হবার ঘটনা নিশ্চিত ঘটনা।

৪.১০। অসম্ভব ঘটনা (Impossible Event) : দৈব পরীক্ষার সাথো সংশ্লিষ্ট কোনো ঘটনা যদি কখনো ঘটার সম্ভাবনা না থাকে তবে তাকে অসম্ভব ঘটনা বলে। যেমন : ১টি ছক্কা নিক্ষেপ করলে সেখানে ১ থেকে ৬ যেকোনোটি পাওয়া সম্ভব কিন্তু কোনোক্রমে ৭ পাওয়া সম্ভব নয়। কাজেই ৭ পাওয়া একটি অসম্ভব ঘটনা। 

একটি ইভেন্টে নমুনাক্ষেত্র তৈরির পদ্ধতি :

নমুনাক্ষেত্র অনেকভাবে তৈরি করা যায়। তবে আমরা বেসিক্যালি কার্তেসীয় গুণজ এবং সম্ভাবনা ট্রি বা Probability Tree এই দুই পদ্ধতি শিখবো।

(১) কার্তেসীয় গুণজ পদ্ধতি : নমুনাক্ষেত্র তৈরির সার্বজনীন পদ্ধতি হচ্ছে কার্তেসীয় গুণজ পদ্ধতি। কার্তেসীয় গুণজ পদ্ধতি ব্যবহার করে সম্ভাব্য ফলাফল বা নমুনাক্ষেত্র নির্ণয় করা যায়। যেমন: 

(i) দুইটি মুদ্রা একত্রে ১ বার বা ১টি মুদ্রা ২ বার নিক্ষেপ করলে নমুনাক্ষেত্র, S = {H, T} × {H, T} = {HH, HT, TH, TT}

(ii) তিনটি মুদ্রা একত্রে ১ বার বা ১টি মুদ্রা ৩ বার নিক্ষেপ করলে নমুনাক্ষেত্র, S = {H, T} × {H, T} × {H, T} =  {HH, HT, TH, TT} × {H, T} = { HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT }

(২) সম্ভাবনা ট্রি বা Probability Tree : সম্ভাবনা ট্রি বা Probability Tree ব্যবহার করে ২টি মুদ্রা একত্রে নিক্ষেপ পরীক্ষার সম্ভাব্য ফলাফল বা নমুনাক্ষেত্র দেখানো হলো— 

২টি মুদ্রা একত্রে নিক্ষেপ পরীক্ষার সম্ভাব্য ফলাফল বা নমুনাক্ষেত্র = { HH, HT, TH, TT } 

যারা বিস্তারিত না জেনে শুধু শর্টকাটে জানতে চান নিম্নোক্ত নিয়ম ২ টি জানলেই তাদের বিসিএস প্রিলি হয়ে যাবে আশা করা যায়। 

যে কোন কিছু একাধিকবার বা একাধিকটা নিক্ষেপ করা হলে তার সম্ভাব্যতা বের করার সূত্র হচ্ছে

$n^x$

এখানে,

n = সর্বোচ্চ ফলাফল বা সব চেয়ে বেশি কতটা ফলাফল পাওয়া সম্ভব।

x = যতবার নিক্ষেপ করা হলো বা যতটি নিক্ষেপ করা হলো।

শর্টকাট-১ : সম্ভাবনা = ^{অনুকূল ঘটনার ক্ষেত্র}⁄_{মোট সম্ভাবনার ক্ষেত্র}

শর্টকাট-২ : না হওয়ার সম্ভাবনা = ১ - ^{অনুকূল ঘটনার ক্ষেত্র}⁄_{মোট সম্ভাবনার ক্ষেত্র}

আমরা জানি, কোনো একটি ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা ১। তাহলে না হওয়ার সম্ভাবনা বা না ঘটার সম্ভাবনা বের করতে বললে ১ থেকে সম্ভাবনা বিয়োগ করলে 'না হওয়ার সম্ভাবনা' পাওয়া যায়। 

নোট : 

১. Probability সর্বোচ্চ মান ১ এবং সর্বনিম্ন মান ০ (শূন্য)। 

২. কোনো কিছু ঘটা যদি অসম্ভব হয়, তবে ঐ ঘটনা ঘটার Probability = ০ 

৩. কোনো কিছু ঘটা যদি নিশ্চিত হয়, তবে ঐ ঘটনা ঘটার Probability = ১

৪. কোনো কিছু ঘটার যদি সম্ভাবনা থাকে, তবে তা নিশ্চিত নয়, তবে ঐ ঘটনা ঘটার কোনো কিছু ঘটা যদি অসম্ভব হয়, তবে ঐ ঘটনা ঘটার Probability ০ থেকে ১ এর মধ্যে। 

এখন শর্টকাটের আলোকে কিছু অংক দেখুন যেগুলো বিগত বিসিএসে এসেছিল।

উদা-১. একটি ছক্কা নিক্ষেপ করলে ৫ উঠার সম্ভাবনা কত? 

একটি ছক্কা নিক্ষেপে মোট সম্ভাবনা ফলাফল = { ১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬ } = ৬ টি এবং অনুকূল ঘটনা = ১ টি। 

সম্ভাবনা = ^{অনুকূল ঘটনার ক্ষেত্র}⁄_{মোট সম্ভাবনার ক্ষেত্র} = $\frac১৬$

সুতরাং, ৫ উঠার সম্ভাবনা $\frac১৬$

খেয়ালে রাখুন : অনুকূল ঘটনা হচ্ছে প্রশ্নে যা চাওয়া হবে সেটিই। অর্থাৎ, প্রশ্নে আপনাকে যা বের করতে বলবে আপনি তাকেই অনুকূল ঘটনা হিসেবে ধরে নিন। 

উদা-২ : একটি ছক্কা নিক্ষেপ করলে ৫ না উঠার সম্ভাবনা কত?

আমরা যেহেতু পূর্বোক্ত অংকে ৫ উঠার সম্ভাবনা বের করেছি। এই সেই সম্ভাবনা কে ১ থেকে বিয়োগ করলেই ৫ না উঠার সম্ভাবনা পেয়ে যাব।

না হওয়ার সম্ভাবনা = ১ - ^{অনুকূল ঘটনার ক্ষেত্র}⁄_{মোট সম্ভাবনার ক্ষেত্র} = ১ - $\frac১৬$ = $\frac {৬-১}{৬}$ = $\frac৫৬$

সম্ভাব্যতা (Probability) নিয়ে আমাদের গাণিতিক সমস্যা দেখতে পরবর্তী কনটেন্টের অপেক্ষা করুন৷ ধন্যবাদ।