গণিত : সরল ও যৌগিক মুনাফা : প্রাথমিক আলোচনা

গাণিতিক যুক্তি

সরল ও যৌগিক মুনাফা (Simple & Compound Interest)

প্রাথমিক আলোচনা

• সরল ও যৌগিক মুনাফা : প্রাথমিক আলোচনা
• সরল মুনাফা সমস্যার সমাধান - ১
• সরল মুনাফা সমস্যার সমাধান - ২
• সরল মুনাফা সমস্যার সমাধান - ৩
• যৌগিক/চক্রবৃদ্ধি মুনাফা সমস্যার সমাধান - ১

সুদ/মুনাফা কে মোট দু ভাগে ভাগ করা যায়। যথা :

• সরল সুদ/Simple Interest : শুধু মূলধনের উপর সুদ কিন্তু সুদের সুদ না। তাই এখানে আসল কখনো বাড়ে না।
• চক্রবৃদ্ধি সুদ/যৌগিক সুদ/Compound Interest : মূলধনের সুদের পাশাপাশি সুদের টাকার উপর পুনরায় সুদ। অর্থাৎ সুদের সুদ।

সরল মুনাফা

(Simple Interest)

সুদকষার গাণিতিক সমস্যাগুলো অনেকের কাছে জটিল মনে হলেও প্রকৃতপক্ষে এই অধ্যায়টি অনেক সহজ, এমনকি এই অধ্যায়ের কিছু সমস্যা খাতা-কলম ছাড়াই করা সম্ভব। কিভাবে সম্ভব তা বোঝার জন্য নিচের আলোচনাগুলো খুব মনোযোগ সহকারে ধাপে ধাপে বোঝার চেষ্টা করতে হবে।

সুদ/মুনাফা কাকে বলে?

আসল বা মূলধনের উপরে যে অতিরিক্ত টাকা প্রদান করা হয়।

সুদ/মুনাফা নির্ণয়ের সূত্র,

মোট সুদ = আসল $\times$ সময় $\times$ সুদের হার $\times$ ^১⁄_১০০

আসল/মূলধান কাকে বলে?

যে টাকা প্রথমে জমা বা ঋণ দেয়া হয়।

আসল/মূলধন নির্ণয়ের সূত্র,

আসল = ^{মোট সুদ}⁄_{সময় $\times$ সুদের হার} $\times$ ১০০

সুদ/মুনাফার হার কাকে বলে?

১০০ টাকায় ১ বছরে যত টাকা সুদ/মুনাফা দেয়া হয়।

বার্ষিক সুদ/মুনাফার হার নির্ণয়ের সূত্র,

সুদের হার = ^{মোট সুদ}⁄_{সময় $\times$ আসল} $\times$ ১০০

সময় কাকে বলে?

আসল/মূলধন যত দিনের জন্য ঋণ হিসেবে দেয়া হয়।

মোট বছর/সময় নির্ণয়ের সূত্র,

সময় = ^{মোট সুদ}⁄_{আসল $\times$ সুদের হার} $\times$ ১০০

লক্ষ্য করুন : সূত্রগুলোতে সবসময় মোট সুদ উপরে থাকে।

সুতরাং, নিচের এই একটা সূত্র মুখস্ত রেখে অন্য সকল সূত্র নির্ণয় করা যায়

$I=Pnr$

এখানে,

$I$ = Interest or Total Interest / মোট সুদ

$P$ = Principal / আসল

$n$ = Number of year / বছর

$r$ = Rate or Yearly Interest Rate / বাৎসরিক সুদের হার

এখন বীজগণিতীয় ক্যালকুলেশন করে অন্য সূত্রগুলোও নির্ণয় করি :

$I=Pnr$ মোট সুদ নির্ণয়ের সূত্র

বা, $Pnr=I$

বা, $P=\frac{I}{nr}$ আসল নির্ণয়ের সূত্র

বা, $r=\frac{I}{Pn}$ সুদের হার নির্ণয়ের সূত্র

বা, $n=\frac{I}{Pr}$ বছর বা সময় নির্ণয়ের সূত্র

কিছু বিষয় বুঝার আছে :

সুদের হার ($r$) সাধারণত $\%$ হিসেবে লিখা থাকে, যেমন : $2\%$, $5\%$, $10\%$, $15\%$, $3.5\%$, $0.5\%$

এগুলোকে আবার দশমিক আকারেও লিখা যায়, যেমন :

$2\%=\frac{2}{100}=0.02$

$5\%=\frac{5}{100}=0.05$

$10\%=\frac{10}{100}=0.10=0.1$

$15\%=\frac{15}{100}=0.15$

$3.5\%=\frac{3.5}{100}=\frac{\frac{35}{10}}{100}=\frac{35}{10}\times\frac{1}{100}=0.035$

$0.5\%=\frac{0.5}{100}=\frac{\frac{5}{10}}{100}=\frac{5}{10}\times\frac{1}{100}=0.005$

সুদের হারগুলো তালিকা করি

শতকরা মান ($\%$)	দশমিক মান
2	0.02
5	0.05
10	0.1
15	0.15
3.5	0.035
0.5	0.005

উপরের তালিকা অনুসারে সুদের হার ($r$) এর মান যদি উপরের টেবিলের মত শতকরা মান সূত্রে ব্যবহার করতে চাই তবে উপরের সূত্রগুলোর শেষে ১০০ গুণ করে প্রয়োগ করতে হবে। যেমন :

$I=Pnr \times \frac{1}{100}$

বা, $Pnr \times \frac{1}{100}=I$

বা, $P=\frac{I}{nr} \times 100$

বা, $r=\frac{I}{Pn} \times 100$

বা, $n=\frac{I}{Pr} \times 100$

আর সুদের ($r$) এর মান যদি উপরের টেবিলের মত দশমিক মান সূত্রে ব্যবহার করতে চাই তখন সূত্রগুলোকে নিচের মত প্রয়োগ করতে হবে।

$I=Pnr$

বা, $Pnr=I$

বা, $P=\frac{I}{nr}$

বা, $r=\frac{I}{Pn}$

বা, $n=\frac{I}{Pr}$

তবে এই ক্ষেত্রে দশমিক থাকে বিধায় ক্যালকুলেটর ছাড়া মান নির্ণয় সময় সাপেক্ষ ব্যাপর, তাই উপরের মত Percetage(%) Value প্রয়োগ করে সূত্রের শেষে ১০০ গুণ করে ক্যালকুলেটর ছাড়া মান নির্ণয় সহজ।

কিছু গুরুত্বপূর্ণ বিষয় :

সুদাসল $(C)$ = সুদ + আসল $(I+P)$

এখানে, $C$ = Capital বা সুদাসল বা মুনাফা-আসল একত্রে

বা, আসল $(P)$ = সুদাসল - সুদ $(C-I)$

বা, সুদ $(I)$ = সুদাসল + আসল$(C-P)$

চক্রবৃদ্ধি মুনাফা/যৌগিক ‍মুনাফা

(Compound Interest)

চক্রবৃদ্ধি সুদ বা যৌগিক মুনাফা কী?

চক্রবৃদ্ধি সুদ হলো সুদে উপর সুদ। অর্থাৎ যখন কোনো সুদ মূলধনের সাথে যুক্ত হয়ে যায় এবং সেই সুদের টাকার টাকার উপরও সুদ প্রদান করতে করা হয় তখন তাকে চক্রবুদ্ধি সুদ বলে।

যেমন : ১০০ টাকার ১০% হারে প্রথম বছরের সুদ হবে ১০ টাকা, প্রথম বছর শেষে বছর সুদ+আসল সহ হবে ১১০ টাকা। সুতরাং দ্বিতীয় বছর ১১০ টাকার ১০% হারে সুদ হবে ১১ টাকা হবে। তৃতীয় বছর (১১০+১১) = ১২১ টাকার উপর ১০% হারে সুদ ১২.১০ টাকা, এইভাবে পরবর্তী বছরগুলোও নির্ণয় করতে হবে। অর্থাৎ এখানে ৩ বছরে মোট সুদ পাওয়া গেল ১০+১১+১২.১০=৩৩.১০ টাকা।

সরল সুদ ও চক্রবুদ্ধ সুদের মধ্যে পার্থক্য কী?

সরল সুদে সুদের উপর আবার সুদ হিসাব হয় না। সব সময় আসল একই থাকে।

যেমন : ১০০ টাকার ১০% হারে প্রথম বছরের সুদ হবে ১০ টাকা, দ্বিতীয় বছর আবার ১০০ টাকার ১০% হারে সুদ হবে ১০ টাকা হবে। তৃতীয় বছরও ১০০ টাকার উপর ১০% হারে সুদ আবার ১০ টাকা, এইভাবে পরবর্তী বছরগুলোও নির্ণয় করতে হবে। অর্থাৎ এখানে ৩ বছরে মোট সুদ পাওয়া গেল ১০+১০+১০=৩০ টাকা।

চক্রবৃদ্ধিতে সুদের উপর সুদ নির্ণয় করতে হয় বিধায় সরল সুদের তুলনায় চক্রবুদ্ধিতে সুদ বেশি পাওয়া যায়।

সরল সুদে প্রথম বছর যত টাকা সুদ পাওয়া যাবে, ৫০ বছর পরও তত টাকাই সুদ পাওয়া যাবে। কিন্তু চক্রবুদ্ধতে প্রতি বছর তার আগের বছরে সুদাসলের উপর সুদ নির্ণয় করতে হয় বিধায় যত বেশি বছরের সুদ নির্ণয় করা হবে তত সুদ বেশি হবে।

সরল মুনাফায় ঋণ গ্রহীতা লাভবান হন। পক্ষান্তরে চক্রবুদ্ধিতে ঋণ দাতা লাভবান হন।

প্রথম বছর চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সরল সুদ একই হয়।

চক্রবৃদ্ধি’র সূত্র :

চক্রবৃদ্ধি সুদাসল = মূলধন$\times$(১+শতকরা সুদের হার)^বছর

বা, চক্রবৃদ্ধি সুদাসল = মূলধন$\times$(১+^{সুদের হার}⁄_১০০)^বছর

$C=P\left(1+r\right)^n$ [$r$ এর দশমিক মান বসাতে হবে]

Or, $C=P\left(1+\frac{r}{100}\right)^n$ [$r$ এর শতকরা মান বসাতে হবে]

অর্থাৎ চক্রবৃদ্ধি মুনাফা, $I$ $=P\left(1+r\right)^n-P$ Or, $P\left(1+\frac{r}{100}\right)^n-P$

-